都立高校入試の計算攻略『平方根と展開』【リタロク数学塾】

こんにちは！教育業界20年以上のリタイア60です。誰でも無料で学べる『リタロク数学塾』。元大手学習塾の数学講師が、学習塾に通塾する前に身につけてほしい計算力向上のお手伝いをします。

保護者「計算力を上げるために学習塾に通わせなきゃ・・・」
時間とお金の無駄！計算ができるようになってから学習塾へ！

計算力向上は本人の努力が90%以上！受験学年と言われる中学3年生なら、学習塾での時間を有効に使うべき。計算力は自分でなんとかするのです！

そこで、この記事で「無料」で学び、練習し、計算力を向上させてから学習塾を検討するのがおすすめです。

【コンセプト】

誰でも無料で数学を学べる。
都立高校入試の過去問を使用するため、ゴールを意識しやすい。
途中式が全て記載されているため、計算方法が分かりやすい。
類題で理解を深めることができる。

日頃の学習はもちろん、受験勉強や入試直前対策などにも有効だニャ！多くの中学生に学んでもらいたいニャ！

今回のテーマは『平方根と展開の計算』だニャ。都立高校入試での配点は「５点」だニャ！一緒に勉強していこうニャ！

令和４年度（正答率：78.7%）
令和３年度（正答率：55.3%)
令和２年度（正答率：76.2%)
平成３１年度（正答率：85.7%)
平成３０年度（正答率：80.2%)
平成２９年度（正答率：70.6%)
別単元リンクとお知らせ

令和４年度（正答率：78.7%）

$\left( 2+\sqrt{6}\right) ^{2}$ 　を計算せよ。

【解法のポイント】

展開公式を使おう！
$\left( a+b\right) ^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

【詳しい解説】

$=2^{2}+2\times 2\times\sqrt{6}+\left( \sqrt{6}\right) ^{2}$ 　←展開公式！

$=4+4\sqrt{6}+6$

$=10+4\sqrt{6}$ 　←答え

＜パターン練習＞

①　 $\left( 3+\sqrt{5}\right) ^{2}$ 　を計算せよ。

②　 $\left( 2+\sqrt{2}\right) ^{2}$ 　を計算せよ。

③　 $\left( 6+\sqrt{7}\right) ^{2}$ 　を計算せよ。

④　 $\left( 5+2\sqrt{2}\right) ^{2}$ 　を計算せよ。

⑤　 $\left( 1+3\sqrt{2}\right) ^{2}$ 　を計算せよ。

【詳しい解説】

①　 $=3^{2}+2\times 3\times\sqrt{5}+\left( \sqrt{5}\right) ^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=9+6\sqrt{5}+5$

　　 $=14+6\sqrt{5}$ 　←答え

②　 $=2^{2}+2\times 2\times\sqrt{2}+\left( \sqrt{2}\right) ^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=4+4\sqrt{2}+2$

　　 $=6+4\sqrt{2}$ 　←答え

③　 $=6^{2}+2\times 6\times\sqrt{7}+\left( \sqrt{7}\right) ^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=36+12\sqrt{7}+7$

　　 $=43+12\sqrt{7}$ 　←答え

④　 $=5^{2}+2\times 5\times 2\sqrt{2}+\left( 2\sqrt{2}\right) ^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=25+20\sqrt{2}+8$

　　 $=33+20\sqrt{2}$ 　←答え

⑤　 $=1^{2}+2\times 1\times 3\sqrt{2}+\left( 3\sqrt{2}\right) ^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=1+6\sqrt{2}+18$

　　 $=19+6\sqrt{2}$ 　←答え

展開公式は必ず覚えておくことニャ。見た瞬間に解き方が分かる問題だから、ケアレスミスだけ注意するニャ。

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令和３年度（正答率：55.3%)

$3\div \sqrt{6}\times \sqrt{8}$ 　を計算せよ。

【解法のポイント】

累乗、乗法、除法はまとめて計算
有理化（分母の平方根の払い方）
素因数分解のやり方

【詳しい解説】

$=\dfrac{3\times \sqrt{8}}{\sqrt{6}}$ 　←有理化＝分子・分母に $\sqrt{6}$ をかける！

$=\dfrac{3\times \sqrt{8}\times \sqrt{6}}{6}$ 　←約分と平方根の計算を！

$=\dfrac{\sqrt{48}}{2}$ 　←48を素因数分解！

48を素因数分解すると、 $48=2^{2}\times2^{2}\times3$ 　なので、

$=\dfrac{2\times 2\times \sqrt{3}}{2}$ 　←再び約分

$= 2 \sqrt{3}$ 　←答え

＜パターン練習＞

①　 $14\div \sqrt{7}\times \sqrt{5}$ 　を計算せよ。

②　 $6\div \sqrt{3}\times \sqrt{12}$ 　を計算せよ。

③　 $\sqrt{12}\div \sqrt{6}\times 8$ 　を計算せよ。

④　 $25\times \sqrt{6}\div \sqrt{10}$ 　を計算せよ。

⑤　 $12\div \sqrt{8}\times \sqrt{6}$ 　を計算せよ。

【詳しい解説】

①　 $=\dfrac{14\times \sqrt{5}}{\sqrt{7}}$ 　←有理化＝分子・分母に $\sqrt{7}$ をかける！

　　 $=\dfrac{14\times \sqrt{5}\times \sqrt{7}}{7}$ 　←約分と平方根の計算を！

　　 $=2\sqrt{35}$ 　←答え

②　 $=\dfrac{6\times \sqrt{12}}{\sqrt{3}}$ 　←有理化＝分子・分母に $\sqrt{3}$ をかける！

　　 $=\dfrac{6\times \sqrt{12}\times \sqrt{3}}{3}$ 　←約分と平方根の計算を！

　　 $=2\sqrt{36}$ 　←36を素因数分解！

　　36を素因数分解すると、 $36=2^{2}\times3^{2}$ 　なので、

　　 $=2\times 2\times 3$

　　 $=12$ 　←答え

③　 $=\dfrac{\sqrt{12}\times 8}{\sqrt{6}}$ 　←有理化＝分子・分母に $\sqrt{6}$ をかける！

　　 $=\dfrac{\sqrt{12}\times 8\times \sqrt{6}}{6}$ 　←約分と平方根の計算を！

　　 $=\dfrac{4\sqrt{72}}{3}$ 　←72を素因数分解！

　　72を素因数分解すると、 $72=2^{2}\times3^{2}\times2$ 　なので、

　　 $=\dfrac{4\times 2\times 3\times \sqrt{2}}{3}$ 　←再び約分

　　 $=8\sqrt{2}$ 　←答え

④　 $=\dfrac{25\times \sqrt{6}}{\sqrt{10}}$ 　←有理化＝分子・分母に $\sqrt{10}$ をかける！

　　 $=\dfrac{25\times \sqrt{6}\times \sqrt{10}}{10}$ 　←約分と平方根の計算を！

　　 $=\dfrac{5\sqrt{60}}{2}$ 　←60を素因数分解！

　　60を素因数分解すると、 $60=2^{2}\times3\times5$ 　なので、

　　 $=\dfrac{5\times 2\times \sqrt{15}}{2}$ 　←再び約分

　　 $=5\sqrt{15}$ 　←答え

⑤　 $=\dfrac{12\times \sqrt{6}}{\sqrt{8}}$ 　←有理化＝分子・分母に $\sqrt{8}$ をかける！

　　 $=\dfrac{12\times \sqrt{6}\times \sqrt{8}}{8}$ 　←約分と平方根の計算を！

　　 $=\dfrac{3\sqrt{48}}{2}$ 　←48を素因数分解！

　　48を素因数分解すると、 $48=2^{2}\times2^{2}\times3$ 　なので、

　　 $=\dfrac{3\times 2\times 2\times \sqrt{3}}{2}$ 　←再び約分

　　 $=6 \sqrt{3}$ 　←答え

展開公式を利用しないパターンも出題されたニャ。有理化や約分を忘れないように、解答用紙に答えを書く前にチェックするニャ！

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令和２年度（正答率：76.2%)

$\left( 2-\sqrt{6}\right) \left( 1+\sqrt{6}\right)$ 　を計算せよ。

【解法のポイント】

無理せず分配法則を使おう！
$\left( a+b\right) \left( c+d\right)=ac+ad+bc+bd$

【詳しい解説】

$=2\times 1+2\times \sqrt{6}-\sqrt{6} \times 1- \sqrt{6} \times \sqrt{6}$ 　←分配法則！マイナスに注意！

$=2+2\sqrt{6}-\sqrt{6}-6$

$=\sqrt{6} -4$ 　←答え

＜パターン練習＞

①　 $\left( 3-\sqrt{5}\right) \left( 4+\sqrt{5}\right)$ 　を計算せよ。

②　 $\left( 7-\sqrt{2}\right) \left( 2+\sqrt{2}\right)$ 　を計算せよ。

③　 $\left( 1-\sqrt{3}\right) \left( 5+\sqrt{3}\right)$ 　を計算せよ。

④　 $\left( 3-\sqrt{7}\right) \left( 4+\sqrt{7}\right)$ 　を計算せよ。

⑤　 $\left( 9-2\sqrt{2}\right) \left( 3+2\sqrt{2}\right)$ 　を計算せよ。

【詳しい解説】

①　 $=3\times 4+3\times \sqrt{5}-\sqrt{5} \times 4- \sqrt{5} \times \sqrt{5}$ 　←分配法則！マイナスに注意！

　　 $=12+3\sqrt{5}-4\sqrt{5}-5$

　　 $=7-\sqrt{5}$ 　←答え

②　 $=7\times 2+7\times \sqrt{2}-\sqrt{2} \times 2- \sqrt{2} \times \sqrt{2}$ 　←分配法則！マイナスに注意！

　　 $=14+7\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2$

　　 $=12+5\sqrt{2}$ 　←答え

③　 $=1\times 5+1\times \sqrt{3}-\sqrt{3} \times 5- \sqrt{3} \times \sqrt{3}$ 　←分配法則！マイナスに注意！

　　 $=5+\sqrt{3}-5\sqrt{3}-3$

　　 $=2-4\sqrt{3}$ 　←答え

④　 $=3\times 4+3\times \sqrt{7}-\sqrt{7} \times 4- \sqrt{7} \times \sqrt{7}$ 　←分配法則！マイナスに注意！

　　 $=12+3\sqrt{7}-4\sqrt{7}-7$

　　 $=5-\sqrt{7}$ 　←答え

⑤　 $=9\times 3+9\times 2\sqrt{2}-2\sqrt{2} \times 3- 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}$ 　←分配法則！マイナスに注意！

　　 $=27+18\sqrt{2}-6\sqrt{2}-8$

　　 $=19+12\sqrt{2}$ 　←答え

焦らず分配法則。便利なやり方を考える時間がもったいないニャ！すぐに思いついたやり方で、丁寧に解けば得点に繋がるニャ！

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平成３１年度（正答率：85.7%)

$\left( \sqrt{7}-1\right) ^{2}$ 　を計算せよ。

【解法のポイント】

展開公式を使おう！
$\left( a-b\right) ^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

【詳しい解説】

$= \left( \sqrt{7}\right) ^{2}-2 \times \sqrt{7} \times 1+1^{2}$ 　←展開公式！

$=7-2\sqrt{7}+1$

$=8-2\sqrt{7}$ 　←答え

＜パターン練習＞

①　 $\left( \sqrt{5}-2\right) ^{2}$ 　を計算せよ。

②　 $\left( 2\sqrt{2}-1\right) ^{2}$ 　を計算せよ。

③　 $\left( \sqrt{3}-\sqrt{5}\right) ^{2}$ 　を計算せよ。

④　 $\left( 3\sqrt{3}-4\right) ^{2}$ 　を計算せよ。

⑤　 $\left( \sqrt{11}-2\right) ^{2}$ 　を計算せよ。

【詳しい解説】

①　 $=\left( \sqrt{5}\right) ^{2}-2 \times \sqrt{5} \times 2+2^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=5-4\sqrt{5}+4$

　　 $=9-4\sqrt{5}$ 　←答え

②　 $=\left( 2\sqrt{2}\right) ^{2}-2 \times 2\sqrt{2} \times 1+1^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=8-4\sqrt{2}+1$

　　 $=9-4\sqrt{2}$ 　←答え

③　 $=\left( \sqrt{3}\right) ^{2}-2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{5}+\left( \sqrt{5}\right)^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=3-2\sqrt{15}+5$

　　 $=8-2\sqrt{15}$ 　←答え

④　 $=\left( 3\sqrt{3}\right) ^{2}-2 \times 3\sqrt{3} \times 4+4^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=27-24\sqrt{3}+16$

　　 $=43-24\sqrt{3}$ 　←答え

⑤　 $=\left( \sqrt{11}\right) ^{2}-2 \times \sqrt{11} \times 2+2^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=11-4\sqrt{11}+4$

　　 $=15-4\sqrt{11}$ 　←答え

展開公式は中学３年生の初めのころに学ぶニャ！もし忘れてたら全ての公式を今のタイミングで覚えなおすニャ！

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平成３０年度（正答率：80.2%)

$\left( \sqrt{7}+2\sqrt{3}\right) \left( \sqrt{7}-2\sqrt{3}\right)$ 　を計算せよ。

【解法のポイント】

展開公式を使おう！
$\left( a+b\right) \left( a-b\right)=a^{2}-b^{2}$

【詳しい解説】

$=\left( \sqrt{7}\right)^{2} -\left(2\sqrt{3}\right)^{2}$ 　←展開公式！

$=7-12$

$=-5$ 　←答え

＜パターン練習＞

①　 $\left( \sqrt{5}+\sqrt{2}\right) \left( \sqrt{5}-\sqrt{2}\right)$ 　を計算せよ。

②　 $\left( 3\sqrt{2}+\sqrt{3}\right) \left( 3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)$ 　を計算せよ。

③　 $\left( \sqrt{5}-2\sqrt{3}\right) \left( \sqrt{5}+2\sqrt{3}\right)$ 　を計算せよ。

④　 $\left( 2\sqrt{5}+\sqrt{2}\right) \left( 2\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)$ 　を計算せよ。

⑤　 $\left( 3\sqrt{2}+2\right) \left( 3\sqrt{2}-2\right)$ 　を計算せよ。

【詳しい解説】

①　 $=\left( \sqrt{5}\right)^{2} -\left(\sqrt{2}\right)^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=5-2$

　　 $=3$ 　←答え

②　 $=\left( 3\sqrt{2}\right)^{2} -\left(\sqrt{3}\right)^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=18-3$

　　 $=15$ 　←答え

③　 $=\left( \sqrt{5}\right)^{2} -\left(2\sqrt{3}\right)^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=5-12$

　　 $=-7$ 　←答え

④　 $=\left( 2\sqrt{5}\right)^{2} -\left(\sqrt{2}\right)^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=20-2$

　　 $=18$ 　←答え

⑤　 $=\left( 3\sqrt{3}\right)^{2} -2^{2}$ 　←展開公式！

　　 $=27-4$

　　 $=23$ 　←答え

展開公式を見抜ければ楽勝だニャ！他のパターンも含めて展開公式は必ず覚えることだニャ！

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平成２９年度（正答率：70.6%)

$\left( 6+\sqrt{2}\right) \left( 1-\sqrt{2}\right)$ 　を計算せよ。

【解法のポイント】

無理せず分配法則を使おう！
$\left( a+b\right) \left( c+d\right)=ac+ad+bc+bd$

【詳しい解説】

$=6\times 1-6\times \sqrt{2} +\sqrt{2} \times 1 -\sqrt{2} \times \sqrt{2}$ 　←分配法則！マイナスに注意！

$=6-6\sqrt{2} +\sqrt{2} -2$

$=4-5\sqrt{2}$ 　←答え

＜パターン練習＞

①　 $\left( 2+\sqrt{3}\right) \left( 1-\sqrt{3}\right)$ 　を計算せよ。

②　 $\left( 5+\sqrt{5}\right) \left( 4-\sqrt{5}\right)$ 　を計算せよ。

③　 $\left( 1+2\sqrt{2}\right) \left( 3-2\sqrt{2}\right)$ 　を計算せよ。

④　 $\left( -2+\sqrt{3}\right) \left( 1-\sqrt{3}\right)$ 　を計算せよ。

⑤　 $\left( 3+\sqrt{2}\right) \left( -5-\sqrt{2}\right)$ 　を計算せよ。

【詳しい解説】

①　 $=2\times 1-2\times \sqrt{3}+\sqrt{3}\times 1-\sqrt{3}\times \sqrt{3}$ 　←分配法則！マイナスに注意！

　　 $=2-2\sqrt{3}+\sqrt{3}-3$

　　 $=-1-\sqrt{3}$ 　←答え

②　 $=5\times 4-5\times \sqrt{5}+\sqrt{5}\times 4-\sqrt{5}\times \sqrt{5}$ 　←分配法則！マイナスに注意！

　　 $=20-5\sqrt{5}+4\sqrt{5}-5$

　　 $=15-\sqrt{5}$ 　←答え

③　 $=1\times 3-1\times 2\sqrt{2}+2\sqrt{2}\times 3-2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}$ 　←分配法則！マイナスに注意！

　　 $=3-2\sqrt{2}+6\sqrt{2}-8$

　　 $=-5+4\sqrt{2}$ 　←答え

④　 $=-2\times 1+2\times \sqrt{3}+\sqrt{3}\times 1-\sqrt{3}\times \sqrt{3}$ 　←分配法則！マイナスに注意！

　　 $=-2+2\sqrt{3}+\sqrt{3}-3$

　　 $=-5+3\sqrt{3}$ 　←答え

⑤　 $=-3\times5-3\times\sqrt{2}-\sqrt{2}\times5-\sqrt{2}\times\sqrt{2}$ 　←分配法則！マイナスに注意！

　　 $=-15-3\sqrt{2}-5\sqrt{2}-2$

　　 $=-17-8\sqrt{2}$ 　←答え

試験当日はケアレスミスが怖いニャ。１つずつ丁寧に分配法則ニャ！他の単元へのリンクはこの後に用意してるニャ！

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都立高校入試の計算攻略『平方根と展開』【リタロク数学塾】

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令和３年度（正答率：55.3%)

令和２年度（正答率：76.2%)

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